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  <title>关于非齐次泊松过程事件发生间隔时间的分布问题 - Wei&#39;s notebook</title>
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令$X_1$,$X_2$,⋯定义强度函数为$λ(t)$的非齐次泊松过程的事件发生的间隔时间
 $X_i$ 独立吗？ 求$X_i$ 的分布 $X_i$ 同分布吗？  本来是一道作业题，但在搜索时并没有找到理想的结果，后偶尔找到了，现将原资料中的答案搬运过来，供大家参考。
" /><meta name="keywords" content="Hugo, theme, even" />






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      <h1 class="post-title">关于非齐次泊松过程事件发生间隔时间的分布问题</h1>

      <div class="post-meta">
        <span class="post-time"> 2020-04-06 </span>
        <div class="post-category">
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          <span class="more-meta"> 约 341 字 </span>
          <span class="more-meta"> 预计阅读 1 分钟 </span>
        
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    <div class="post-toc" id="post-toc">
  <h2 class="post-toc-title">文章目录</h2>
  <div class="post-toc-content">
    <nav id="TableOfContents">
  <ul>
    <li><a href="#1-不独立">1. 不独立</a></li>
    <li><a href="#2-分布">2. 分布</a></li>
    <li><a href="#3-不同分布">3. 不同分布</a></li>
  </ul>
</nav>
  </div>
</div>
    <div class="post-content">
      <p>在齐次泊松过程，事件发生间隔时间$X_i$相互独立，且服从参数为$\lambda$的指数分布。对于非齐次泊松过程，
上述性质是否还成立？</p>
<p>令$X_1$,$X_2$,⋯定义强度函数为$λ(t)$的非齐次泊松过程的事件发生的间隔时间</p>
<ol>
<li>$X_i$ 独立吗？</li>
<li>求$X_i$ 的分布</li>
<li>$X_i$ 同分布吗？</li>
</ol>
<p>本来是一道作业题，但在搜索时并没有找到理想的结果，后偶尔找到了，现将原资料中的答案搬运过来，供大家参考。</p>
<p>解：</p>
<h2 id="1-不独立">1. 不独立</h2>
<p>$$
\begin{aligned}
P(X_2&gt;t|X_1=s)&amp;=\lim_{s&rsquo; -&gt; s}P(N(s+t)-N(s)=0, N(s&rsquo;)=0, N(s)-N(s&rsquo;)=1)\<br>
&amp;=P(N(s+t)-N(s)=0)\<br>
&amp;=e ^{m(s)-m(s+t)}
\end{aligned}
$$</p>
<p>与s有关，故$X_1$ ,$X_2$ 不独立，可得X~i~ 不独立</p>
<h2 id="2-分布">2. 分布</h2>
<p>$$
P(X_1&gt;t)=P(N(t)=0)=e^{-m(t)}  \quad(t&gt;0)
$$</p>
<p>$$
f_{X_1}(t)=\lambda(t) e^{-m(t)} （t&gt;0）
$$</p>
<p>由此得$X_1$ 分布</p>
<h2 id="3-不同分布">3. 不同分布</h2>
<p>$$
\begin{aligned}
P(X_2&gt;t)&amp;=\int_0^{+\infty}P(X_2&gt;t|X_1=s)f_{X_1}(s)ds \<br>
&amp;=\int_0^{+\infty}e^{-m(t+s)}\lambda(s)ds\<br>
&amp;=e^{-m(t)} \int_0^{+\infty}e^{-m(t)}-e^{-m(t+s)}\lambda(s)ds\<br>
&amp;=P(X_1&gt;t)\int_0^{+\infty}e^{-m(t)}-e^{-m(t+s)}\lambda(s)ds\<br>
&amp;\neq P(X_1&gt;t)
\end{aligned}
$$</p>
<p>故 $X_1$ , $X_2$ 不同分布</p>
<p>原题链接见<a href="http://home.ustc.edu.cn/~zkxzq/download/Solution_SP.pdf">http://home.ustc.edu.cn/~zkxzq/download/Solution_SP.pdf</a></p>
    </div>

    <div class="post-copyright">
  <p class="copyright-item">
    <span class="item-title">文章作者</span>
    <span class="item-content">Wei Zou</span>
  </p>
  <p class="copyright-item">
    <span class="item-title">上次更新</span>
    <span class="item-content">
        2020-04-06
        
    </span>
  </p>
  
  
</div>
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      <div class="post-tags">
          <a href="/tags/%E9%9A%8F%E6%9C%BA%E8%BF%87%E7%A8%8B/">随机过程</a>
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